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一文看懂向量（基本概念+3种表达方式+与标量、矩阵、张量的关系）

什么是向量？

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向量主要有2个维度：大小、方向。

大小：箭头的长度表示大小

方向：箭头所指的方向表示方向

向量的3种表达方式

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代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母（a、b、c等）来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头（→）表示，如

 

几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。

 

坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点 P 的坐标。向量a称为点P的位置向量。

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量a。由空间基本定理知，有且只有一组实数(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y,z)，就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

当然，对于多维的空间向量，可以通过类推得到。

向量的矩阵表示

 

标量、向量、矩阵、张量的关系

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这4个概念是维度不断上升的，我们用点线面体的概念来比喻解释会更加容易理解：

  • 点——标量（scalar）

  • 线——向量（vector）

  • 面——矩阵（matrix）

  • 体——张量（tensor）

感兴趣的可以通过下面的内容了解详情：

《一文看懂标量》

《一文看懂向量》

《一文看懂矩阵》

《一文看懂张量》

 

百度百科和维基百科

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百度百科版本 在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

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维基百科版本 向量空间（也称为线性空间）是称为对象的集合的载体，其可被添加在一起，并乘以由数字（“缩放”），所谓的标量。标量通常被认为是实数，但是也存在标量乘以复数，有理数或通常任何字段的向量空间。向量加法和标量乘法的运算必须满足下面列出的某些要求，称为公理。

欧几里德向量是向量空间的一个例子。它们代表物理量，诸如力：任何两个力（同一类型的）可被添加，以产生第三和的相乘力矢量由一实数乘法器是另一个力矢量。同样，但在更几何意义上，表示平面或三维空间中的位移的矢量也形成矢量空间。向量空间中的向量不一定必须是箭头状对象，因为它们出现在上述示例中：向量被视为具有特定属性的抽象数学对象，在某些情况下可以将其视为箭头。

向量空间是线性代数的主题，并且通过它们的维度很好地表征，粗略地说，它指定了空间中独立方向的数量。无限维向量空间在数学分析中自然出现，作为函数空间，其向量是函数。这些向量空间通常具有附加结构，其可以是拓扑结构，允许考虑接近度和连续性问题。在这些拓扑中，由规范或内积定义的拓扑更常用，因为它具有距离概念两个向量之间。特别是Banach空间和Hilbert空间的情况，这是数学分析的基础。

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        2019年1月6日
        by [打不死的小强](https://easyai.tech/author/xiaoqiang/)
                    Updated: 2022年8月15日












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          [数学基础](https://easyai.tech/ai-definition-category/mathematical-foundation/)






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          [vector](https://easyai.tech/ai-definition-tag/vector/), [向量](https://easyai.tech/ai-definition-tag/%e5%90%91%e9%87%8f/), [向量空间](https://easyai.tech/ai-definition-tag/%e5%90%91%e9%87%8f%e7%a9%ba%e9%97%b4/), [线性代数](https://easyai.tech/ai-definition-tag/%e7%ba%bf%e6%80%a7%e4%bb%a3%e6%95%b0/)


















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